标签：#mathematics

This essay was written with Kasra Rafi, and originally appeared in The Guardian. Earlier this month, about 40 top mathematicians gathered at OpenAI’s offices to discuss the future of their profession. The meeting was off-the-record, but if recent articles by mathematicians are any guide, it was mostly pretty glum. People fear for their jobs, their careers and the work they love. We think the contrary view is more likely, at least in the short-term. AI models are nowhere near as capable as experienced academic mathematicians. This isn’t to say that AIs aren’t producing stunning mathematical results at the level of PhD researchers. In mid-May, OpenAI ...

For more than 150 years, the Riemann hypothesis has stood as one of the major unsolved problems in mathematics. Anthropic hasn't solved it — but the company's models made more progress than you might expect.

New study confirms 2024 "momentum flux theory" on how angular momentum of water flows drives rotation.

AI จะครองโลก เป็นคำที่ได้ยินมานาน เท่าที่ผู้เขียนจำความได้ก็มี Judgement Day ยุคหนัง Terminator แต่หากจะจริงจังขนาดโยงเข้าความเป็นจริงก็ยังไม่มีอะไรชัดเจน แต่วันนี้เรามีหลักฐานพิสูจน์ได้จริงแล้ว ด้วยความ Novelty จาก OpenAI ที่สามารถค้นพบความรู้ใหม่ที่ไม่เคยมีมนุษย์ค้นพบมาก่อน หักล้างความเชื่อที่ว่า AI ทำได้เพียงนำสิ่งที่มนุษย์ค้นพบแล้วมาเรียงต่อกัน ในเดือนพฤษภาคม 2026 reasoning model ภายในของ OpenAI ได้ disprove Erdős Planar Unit Distance Problem ซึ่งเป็นปัญหาและข้อคาดการณ์ทาง Combinatorial geometry ที่ Paul Erdős ตั้งไว้ตั้งแต่ปี 1946 โจทย์ระบุว่า เมื่อวางจุด nn n จุดบนระนาบ จำนวนของคู่จุดที่ห่างกันพอดี 1 หน่วยจะมีได้มากที่สุดเท่าใด Erdős แสดงความเป็นไปได้ผ่านการจัดเรียงแบบ grid ว่าได้จำนวนคู่ที่เติบโตเหนือเส้นตรงเพียงเล็กน้อย และตั้งข้อคาดการณ์ว่าไม่มีโครงสร้างใดทำได้ดีกว่านี้อย่างมีนัยสำคัญ ข้อคาดการณ์นี้ได้รับการยอมรับในวงกว้างตลอด 80 ปีที่ผ่านมา และยังไม่มีข้อคาดการณ์ที่ดีกว่านี้ จนกระทั่ง OpenAI ได้เผยแพร่ Chain of Thought (CoT) เรียบเรียงความยาว 125 หน้า ซึ่งบันทึกลำดับการให้เหตุผลของโมเดลไว้ทั้งกระบวนการว่าโมเดลไปถึงคำตอบอย่างไร กรอบของคำตอบ: lower bound กับ upper bound ก่อนเข้ากระบวนการทำงานของโมเดล ขออธิบาย "กรอบ" ของคำตอบของปัญหานี้ก่อน เพราะคำตอบถูกล้อมไว้ด้วย lower bound จำนวนที่สร้างได้จริงแล้ว อย่างน้อยเท่านี้ และ upper bound เพดานที่พิสูจน์แล้วว่าเกินไม่ได้ ด้าน lower bound นั้น Erdős เอง (1946) ใช้การจัดเรียงแบบ grid แสดงว่าสร้างได้ถึง n1+Ω(1/log⁡log⁡n)n^{1+\Omega(1/\log\log n)} n 1 + Ω ( 1/ l o g l o g n ) ซึ่งมากกว่าเส้นตรงเพียงเล็กน้อย และเข้าใกล้ศูนย์เมื่อ nn n ใหญ่ขึ้น ส่วนด้าน upper bound นั้น Erdős พิสูจน์เพดานแรกไว้ที่ O(n3/2)O(n^{3/2}) O ( n 3/2 ) จากวงกลมหนึ่งหน่วยสองวงตัดกันได้ไม่เกินสองจุด โดยต่อมา Spencer–Szemerédi–Trotter (1984) บีบเพดานนี้ลงมาเป็น O(n4/3)O(n^{4/3}) O ( n 4/3 ) ซึ่งเป็น upper bound ที่ดีที่สุดจนถึงปัจจุบัน และยังคงอยู่หลังการค้นพบของ OpenAI model วิธีเก่าของ Erdős: วงกลมรัศมีเลือกมาลากผ่านจุด grid หลายจุดพร้อมกัน ทำให้ระยะซ้ำมีมาก สิ่งที่ Erdős คาดการณ์คือ คำตอบจริงของ Planar Unit Distance Problem ควรอยู่ชิดด้าน lower